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Publié le 03 mai 2007 Mis à jour le 06 février 2017

Quelques méthodes mathématiques pour le traitement d’image (2008-2009)

Introduction à la théorie mathématique de traitement de l’image

Réalisé par Maïtine Bergounioux, du MAPMO - Mathématiques et Applications, Physique Mathématique d’Orléans en 2008-2009, le cours « Quelques méthodes mathématiques pour le traitement d’image » est une introduction à la théorie mathématique de traitement de l’image. On y aborde essentiellement les méthodes variationnelles.

Cependant, même si l’on parle d’introduction, il s’agit en fait d’un cours où rapidement on utilise des mathématiques avancées. On pénètre dans le monde du calcul numérique et des différentes méthodes de compression, de filtrage et de traitement de l’image.

Une image numérique est composée d’unités élémentaires (appelées pixels) qui représentent chacune une portion de l’image. Une image est définie par :

  • le nombre de pixels qui la compose en largeur et en hauteur (qui peut varier presque à l’infini),
  • l’étendue des teintes de gris ou des couleurs que peut prendre chaque pixel (on parle de dynamique de l’image).

Ceci comprend :

  • Les images binaires (noir ou blanc)   Exemple, images les plus simples, un pixel peut prendre uniquement les valeurs noir ou blanc. C’est typiquement le type d’image que l’on utilise pour scanner du texte quand celui ci est composé d’une seule couleur.  
  • Les images en teintes de gris   En général, les images en niveaux de gris renferment 256 teintes de gris. Image 256 couleurs, simplement chacune de ces 256 couleurs est définie dans la gamme des gris. Par convention la valeur zéro représente le noir (intensité lumineuse nulle) et la valeur 255 le blanc (intensité lumineuse maximale).  
  • Les images couleurs   S’il existe plusieurs modes de représentation de la couleur, le plus utilisé pour le maniement des images numériques est l’espace couleur Rouge, Vert, Bleu (R,V,B). Cet espace couleur est basé sur la synthèse additive des couleurs, c’est à dire que le mélange des trois composantes (R, V, B) donne une couleur.

Contenu

  • Introduction
    • Qu’est-ce qu’une image numérique ?
    • Qu’est-ce que le traitement d’image ?  
  • Filtrage
    • Traitement ponctuel des images numériques
    • Filtrage linéaire des signaux 1D
    • Filtrage 2D : convolution /médian
    • Filtrage différentiel
    • Exercices  
  • Quelques outils mathématiques pour l’image
    • Optimisation dans les espaces de Banach
    • Formulation variationnelle des équations aux dérivées partielles
    • Analyse convexe non lisse
    • Exercices  
  • Quelques modèles de restauration d’image
    • Régularisation de Tychonov
    • L’espace des fonctions à variation bornée BV
    • Le modèle continu de Rudin-Osher-Fatemi
    • Modèle discret
    • Algorithme de projection de Chambolle  
    Méthode des contours actifs
    • Rappels sur la géométrie des courbes planes
    • Méthodes des contours actifs
    • La méthode des lignes de niveau (« Level set »)
    • Le modèle des ballons ( « Balloons »)
    • Le modèle de Munford-Shah

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Mots-clés: Méthodes Image théorie traitement d'image Introduction traitement Maïtine Bergounioux

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