Les formules mathématiques : que d'histoires !

Les mathématiques apparaissent parfois comme une discipline abstraite. Et pourtant, des passionnés, internautes, romanciers, et bien entendu des mathématiciens nous en donnent une image très vivante et concrète. Quand les formules sont présentées dans leur contexte historique et humain, elles deviennent l'enjeu de défis et de rivalité !

Comment naissent les formules ?

Les histoires de découvertes mathématiques, comme les grands mythes, connaissent de nombreuses variantes.

Prenons Thalès. Il est célèbre pour une formule qu'il n'a sans doute jamais prononcée, mais dont il a eu l'intuition. Invité par les Egyptiens qui s'interrogent sur la hauteur de leur pyramide, il trouve rapidement quelle est leur hauteur, sans les mesurer.

L'histoire a été tellement racontée, que la méthode présentée n'est jamais exactement la même :

• L'explication la plus simple veut qu'il ait affirmé que quand l'ombre de son bâton aurait exactement la même taille que son bâton, il suffirait de mesurer l'ombre de la pyramide pour obtenir sa taille.
• D'autres explications utilisent les rapports entre la taille du bâton et la taille de l'ombre, qui est le même que le rapport entre la hauteur de la pyramide et la longueur de son ombre.
   

Sur Youtube, cordierphychi et Mickael Launay présentent de façon vivante le mathématicien, la formule qui porte son nom et son histoire.

La suite de Fibonacci, qui permet de déterminer le nombre d'or fait rêver. Elle évoque de grandes oeuvres artistiques et architecturales ainsi que des créations de la nature. Et pourtant. A l'origine, Fibonacci se donne pour mission de résoudre un problème... de reproduction de lapins.

Soit un couple de lapins qui produit une portée de deux lapins, un mâle et une femelle. Ces deux là produisent à leur tour une portée deux mois plus tard, puis tous les mois, et ainsi de suite. Après quelques générations, comment cette population évolue-t-elle d'un mois à l'autre... sachant que ces lapins sont quasi-immortels et se reproduisent avec une régularité d'horloger ?

Gérard Villemin nous détaille cette découverte sur son site tandis que Mickaël Launay nous en donne une version imagée sur une vidéo. A partir de la huitième minute, pour les impatients, vous verrez que Mickaël a dévalisé son magasin de peluches.

Pythagore compte sans doute parmi les mathématiciens les plus connus. Derrière une des plus belles formules se cache un philosophe, mystique, fondateur d'une école aux pratiques pédagogiques qui étonnent encore. La revue "Tangente" nous apprend qu'au cours des siècles, la démonstration a bien évolué. Réduite au départ au cas particulier d'un triangle rectangle isocèle, elle s'est peu à peu développée, à partir de formules et de graphiques très élaborées.

Et bien entendu, la formule algébrique A² + B² = C² arrive bien plus tard.

Les conjectures : des aventures de l'esprit qui couvrent parfois des siècles

Une conjecture est selon Wikipedia "une assertion pour laquelle on ne connaît pas encore de démonstration, mais que l'on soupçonne d'être vraie, en l'absence de contre-exemple." Celle de Fermat ou celle de Kepler ont été résolues plusieurs centaines d'années après leur formulation. Celle de Poincaré a attendu 99 ans. D'autres n'ont pu l'être que grâce à des ordinateurs capables de faire des milliers d'opérations à la seconde... Chacune de ces conjectures est une histoire où se croisent des générations de chercheurs. A des dizaines ou des centaines d'années de distance, deux mathématiciens se trouvent liés, comme Poincaré, qui a posé une conjecture en 1904, et Perelman en 2003.

Résoudre une conjecture vaut aux mathématiciens une renommée bien plus grande que la médaille Fields. Cédric Villani en témoigne dans cette vidéo. Si nous sommes en admiration devant une telle aventure, peu nombreux sont ceux qui y comprennent quelque chose. Et c'est donc naturellement les histoires et les personnages qui attirent notre attention. Et ça tombe bien : Perelman a refusé la médaille Fields ainsi qu'un prix de un million de dollars pour sa découverte. De quoi créer un mystère autour du personnage !

 Une énigme mathématique qui se lit comme un roman

Comment retourner une aiguille, de manière à ce que le chas se retrouve à la place de la pointe, en utilisant la surface la plus réduite possible ? C'est l'énigme que pose En cheminant avec Kakeya, le livre de  Vincent Borrelli et Jean-Luc Rullière.

Chaque proposition de solution est l'occasion de découvrir un champ mathématique. Chaque chapitre nous convainc que l'énigme est résolue, et le chapitre suivant vient tout bousculer. C'est élégant, très bien organisé, et une version gratuite peut être téléchargée en pdf.

Les histoires les plus folles sont à venir

Moins séduisantes pour un esprit mathématiques, des formules et algorithmes vont sans doute être au coeur de nombreuses histoires dans les prochaines années. Les concepteurs de véhicules autonomes mettent en formules des choix que devront faire les véhicules. Tuer le passager ou le piéton ? Prendre un risque pour éviter un animal ? Bifurquer pour éviter un groupe de piétons mais en tuer un autre ? Ces choix doivent être transformés en code, mais qui décidera de l'algorithme, et selon quels principes éthiques ?... Ce sont les questions que met en évidence l'article de David Larousserie dans un article du Monde.

Quand nos esprits butent sur les formules et les équations, il reste donc possible de partager l'histoire de leur genèse, de leur démonstration ou de leur mise en oeuvre. C'est le pari de Cédric Villani, dont le livre Théorème Vivant nous présente le cheminement vers la découverte qui lui a valu la médaille Fields. Un livre grand public, sur un travail que seules quelques centaines de personnes dans le monde comprennent !

Sur Fibonacci :

Gérard Villemin - "suite de Fibonacci - lapins consulté le 14 octobre 2016
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/FiboLapi.htm

Mickaël Launay "Le nombre d'or" consulté le 14 octobre 2016
https://youtu.be/DxmFbdp7v9Q

Sur Pythagore :

Patrice Debart Démonstrations géométriques du théorème de Pythagore - décembre 2008 
http://www.debart.fr/pdf/pythagore.pdf

Socratica Français - Le théorème de Pythagore - consulté le 14 octobre 2016
https://youtu.be/Ik3b78sUUIs

Sur la conjecture de Poincaré

R BUS "Gregory Perelman, mathématicien de génie"  - novembre 2013
https://youtu.be/3M1rBUWszLU

Sur les véhicules autonomes et les questions éthiques

David Larousserie Tuer un piéton ou sacrifier le passager, le dilemme macabre des voitures autonomes - Le Monde - 27 juin 2016
http://www.lemonde.fr/sciences/article/2016/06/23/tuer-un-pieton-ou-sacrifier-le-passager-le-dilemme-macabre-des-voitures-autonomes_4956924_1650684.html

Pour expérimenter ces questions éthiques :
http://moralmachine.mit.edu/